Вторая космическая скорость вывод формулы. Космические скорости

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Рассмотрим движение тела в неинерциальной системе отсчета - относительно Земли.

В этом случае объект на орбите будет находиться в состоянии покоя, так как на него будут действовать уже две силы: центробежная сила и сила тяготения.

где m - масса объекта, M - масса планеты, G - гравитационная постоянная (6,67259·10 −11 м?·кг −1 ·с −2),

Первая космическая скорость, R - радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли 7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения - так как g = GM/R?, то

Втора?я косми?ческая ско?рость - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания круговой орбиты вокруг него.

Запишем закон сохранения энергии

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты. Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, R - радиус планеты, G -гравитационная постоянная, v 2 - вторая космическая скорость.

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке:

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 15. Вывод формул для 1-й и 2-й космических скоростей.:

1. Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы.
2. 14. Вывод третьего закона Кеплера для кругового движения
3. 1. Скорость элиминации. Константа скорости элиминации. Время полуэлиминации
4. 7.7. Формула Релея-Джинса. Гипотеза Планка. Формула Планка
5. 13. Космическая и авиационная геодезия. Особенности зондирования в водной среде. Системы машинного зрения ближнего радиуса действия.
6. 18. Этический аспект культуры речи. Речевой этикет и культура общения. Формулы речевого этикета. Этикетные формулы знакомства, представления, приветствия и прощания. «Ты» и «Вы» как формы обращения в русском речевом этикете. Национальные особенности речевого этикета.

Самые первые источники письменности, устные легенды и сказания, передаваемые из уст в уста, свидетельствуют о желании человека летать, подобно птице. И вот летательные аппараты легко обгоняют любых птиц. Но человек не только освоил воздушное пространство, этого ему показалось мало.

Активно осваивается ближний космос, на Земной орбите находятся целые комплексы, состоящие из жилых, научных, технических модулей. По красной планете - Марсу - вовсю колесят исследовательские автоматические аппараты, по поверхности Луны делаются «огромные шаги человечества», а миссии «Вояджер» вообще навсегда покидают свою родную звезду. С какой скоростью летят аппараты в космосе? "Вторая космическая скорость" - что означает это словосочетание?

Как оторваться от Земли и как её покинуть

Для начала рассмотрим, как вообще летают наши космические аппараты. Представим, что на поверхности Земли построена некая фантастическая башня. Настолько высокая, что её вершина расположена там, где уже совсем нет воздуха. На верхней площадке сооружения ставим пушку, способную выпускать снаряды с разными начальными скоростями.

Первый снаряд выпускается с небольшим количеством пороха в заряде. Снаряд, падает недалеко от башни. Если каждый последующий выстрел производить, последовательно увеличивая мощность заряда, снаряды, выпускаемые из пушки, будут падать всё дальше, огибая земной шар.

При условии, что наша пушка установлена так высоко, что снаряды будут лететь вне атмосферы, и воздух не станет тормозить их движение, в определённый момент снаряд (под номером 6 на рисунке) вообще не упадёт на поверхность планеты. Обогнув её, он пролетит рядом с выпустившей его пушкой и пойдёт на второй, третий круг и т. д. Такой эффект мы сможем наблюдать, когда начальная скорость снаряда будет 7,91 километров в секунду - это и есть первая космическая скорость.

А что будет, если скорость повышать дальше? Если выпустить снаряд из пушки так, чтобы летел он быстрее 11 км/с, траектория его превратится из эллипса в параболу (линия 7 на рисунке) и он, преодолев силу притяжения, навсегда покинет нашу планету. Это в небесной механике вторая космическая скорость.

Кто был первым

Кто же сумел первым придать технике такие скорости? Обе - первая и вторая космические скорости - были достигнуты аппаратами, изготовленными руками советских инженеров.

Осенью 57 года прошлого века советская ракета-носитель P-7, развив первую космическую скорость, выводит на орбиту Земли первый в истории человечества искусственный спутник. Но человек не был бы самим собой, если бы его удовлетворила участь кружиться вокруг своей колыбели.

Спустя буквально два года, опять же советским, космическим кораблём была достигнута вторая космическая скорость ракет, позволившая миссии преодолеть земное притяжение и направиться в сторону Луны.

Как рассчитать

А от чего зависит величина космических скоростей? Очевидно, во первых, от мощности гравитационного поля, которое создаёт космическое тело. Одно дело оторваться от астероида, где придать мячу вторую космическую скорость можно просто - посильнее размахнувшись, швырнуть его в космос. Другое дело - покинуть пределы Земли, с её массой.

Есть ещё один нюанс. Рассмотрим две планеты, вращающиеся вокруг Солнца: Меркурий и малую планету , открытую недавно, Эриду. Оба космических тела вращаются вокруг одного и того же светила с одной и той же массой. Но вот 1 космическая скорость у Меркурия составляет около 50 км/с, Эрида же летит по своей орбите намного медленнее - около 3,5 км/с. В чём же дело? А в том, что Эрида в 200 раз дальше от светила чем Меркурий и сила притяжения Солнца там в 200 в кубе раз слабее. Отсюда ещё один фактор - расстояние от центра космического тела. То есть чем ближе к нему мы находимся, тем выше будет вторая космическая скорость. Формула первой космической скорости известна из школьного курса физики.

• G - константа гравитации, принимается в расчётах 6,67 ∙ 10 -11 м 3 ∙с -2 ∙кг;
• M - масса космического тела;
• R - расстояние от центра планеты до орбиты (радиус вращения).

Не сложно вычисляется и вторая космическая скорость. Формула ее приведена ниже.

Для того чтобы, находясь в районе земной орбиты, навсегда покинуть Солнечную систему, необходимо разогнаться до скорости (относительно Солнца) 47 км/с, ее принято называть третьей космической.

Наше Солнце так же, как вокруг него планеты, само вращается вокруг центра галактики, именумой Млечным Путем, со скоростью около 250 километров в секунду. Для того чтобы навсегда распрощаться с галактикой, ему понадобилась бы скорость порядка 650 км/с (космическая скорость № 4).

Вторая космическая скорость для небольшого астероида составляет около 30-60 м/с. Улететь от такого объекта в космосе несложно. Другое дело - нейтронные звёзды или ещё чего похуже - чёрные дыры. Вторая космическая скорость для чёрной дыры - свыше 300 тысяч километров в секунду - выше скорости света. Именно поэтому ни один объект, даже свет, не в состоянии покинуть объятия этого космического монстра.

Минимальную скорость, которую нужно сообщить физическому телу (например, космическому аппарату), чтобы оно могло преодолеть гравитационное притяжение небесного объекта (например, планеты или звезды) и навсегда покинуть сферу его гравитационного действия, называют параболической скоростью (тело, имеющее такую скорость, движется по параболической траектории). Параболическая скорость уменьшается с увеличением расстояния от небесного объекта. Параболическую скорость у поверхности небесного объекта называют второй космической скоростью. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,18 километра в секунду. Параболическая скорость на высоте 300 километров над поверхностью Земли (уровнем моря) равна 10,93 километра в секунду, на высоте 1000 километров – 6,98 километра в секунду. Для Солнца вторая космическая скорость равна 617,7 километра в секунду, а параболическая скорость на расстоянии 1 астрономической единицы от нашего светила (средний радиус земной орбиты) – 42,1 километра в секунду. Для самой большой планеты Солнечной системы (Юпитера) вторая космическая скорость равна 59,5 километра в секунду, для самой маленькой (Меркурия) – 4,2 километра в секунду.

Чему равна третья космическая скорость?

Третьей космической называют минимальную скорость, которую нужно сообщить телу (например, космическому аппарату) вблизи поверхности Земли, чтобы оно могло, преодолев гравитационное притяжение Земли и Солнца, навсегда покинуть Солнечную систему. Третья космическая скорость равна приблизительно 16,6 километра в секунду (при запуске на высоте 200 километров над земной поверхностью), при этом направление скорости тела относительно Земли должно совпадать с направлением скорости орбитального движения Земли.

Что изучает классическая механика?

Классическая механика изучает движение макроскопических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. В основе классической механики лежат законы Ньютона. Движение микрочастиц (способ описания и законы движения) в заданных внешних полях изучает квантовая механика, а законы механического движения тел (частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света, изучает релятивистская механика, основанная на специальной теории относительности.

Что удерживает Луну на околоземной орбите?

Упасть на Землю нашему естественному спутнику не позволяет его орбитальная скорость, превышающая первую космическую. А вырваться из гравитационных объятий Земли и навсегда покинуть ее окрестности мешает земное притяжение, для преодоления которого орбитальная скорость Луны недостаточно велика (меньше второй космической ).

Втора́я косми́ческая ско́рость (параболи́ческая ско́рость, ско́рость освобожде́ния, ско́рость убега́ния) - наименьшая скорость , которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания замкнутой орбиты вокруг него. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно более не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с .

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по параболе относительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой. Если чуть меньше, то она превращается в эллипс . В общем случае все они являются коническими сечениями .

Если тело запущено вертикально вверх со второй космической и более высокой скоростью, оно никогда не остановится и не начнёт падать обратно.

Эту же скорость приобретает у поверхности небесного тела любое космическое тело, которое на бесконечно большом расстоянии покоилось, а затем стало падать.

Вторая космическая скорость впервые была достигнута коcмическим аппаратом СССР 2 января 1959 года (Луна-1).

Вычисление

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу - спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты , если будет падать на неё из бесконечности . Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.

m v 2 2 2 − G m M R = 0 , {\displaystyle {\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-G{\frac {mM}{R}}=0,} R = h + r {\displaystyle R=h+r}

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния - энергия равна нулю). Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, r - радиус планеты, h - длина от основания тела до его центра масс (высота над поверхностью планеты), G - гравитационная постоянная , v 2 - вторая космическая скорость.

Решая это уравнение относительно v 2 , получим

v 2 = 2 G M R . {\displaystyle v_{2}={\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}.}

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

v 2 = 2 v 1 . {\displaystyle v_{2}={\sqrt {2}}v_{1}.}

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке (например, на поверхности небесного тела):

v 2 2 = − 2 Φ = 2 G M R . {\displaystyle v_{2}^{2}=-2\Phi =2{\frac {GM}{R}}.}

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов»

Кафедра систем технологий и товароведения

Доклад по курсу концепции современного естествознания на тему «Космические скорости»

Выполнила:

Проверил:

г. Санкт-Петербург

Космические скорости.

Космическая скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) - это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении сможет:

v1 - стать спутником небесного тела (то есть способность вращаться по орбите вокруг НТ и не падать на поверхность НТ).

v2 - преодолеть гравитационное притяжение небесного тела.

v3 - покинуть Солнечную систему, преодолев притяжение Солнца.

v4 - покинуть галактику Млечный Путь.

Первая космическая скорость или Круговая скорость V1 - скорость, которую необходимо придать объекту без двигателя, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Иными словами, первая космическая скорость - это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство центробежной силы и силы тяготения действующих на объект на круговой орбите.

где m - масса объекта, M - масса планеты, G - гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), - первая космическая скорость, R - радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 378 км), найдем

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения - так как g = GM/R², то

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие вторую космическую скорость, движутся по параболе.

Вывод формулы:

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу - спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.

Запишем закон сохранения энергии

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния - энергия равна нулю). Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, R - радиус планеты, G - гравитационная постоянная, v2 - вторая космическая скорость.

Разрешая относительно v2, получим

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

Третья космическая скорость - минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство.

Взлетая с поверхности Земли и наилучшим образом используя орбитальное движение планеты космический аппарат может достичь третей космической скорости уже при 16,6 км/с относительно Земли, а при старте с Земли в самом неблагоприятном направлении его необходимо разогнать до 72,8 км/с. Здесь для расчёта предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость сразу на поверхности Земли и после этого не получает негравитационного ускорения (двигатели выключены и сопротивление атмосферы отсутствует). При наиболее энергетически выгодном старте скорость объекта должна быть сонаправлена скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Орбита такого аппарата в Солнечной системе представляет собой параболу (скорость убывает к нулю асимптотически).

Четвёртая космическая скорость - минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение галактики Млечный Путь. Четвёртая космическая скорость не постоянна для всех точек Галактики, а зависит от расстояния до центральной массы (для нашей галактики таковой является объект Стрелец A*, сверхмассивная чёрная дыра). По грубым предварительным расчётам в районе нашего Солнца четвёртая космическая скорость составляет около 550 км/с. Значение сильно зависит не только (и не столько) от расстояния до центра галактики, а от распределения масс вещества по Галактике, о которых пока нет точных данных, ввиду того что видимая материя составляет лишь малую часть общей гравитирующей массы, а все остальное - скрытая масса.