Монотонная последовательность определение. Теорема вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Приводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей. Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел.

Любая монотонная ограниченная последовательность { x n } имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup { x n } для неубывающей и точной нижней границе, inf { x n } для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Доказательство

1) неубывающей ограниченной последовательностью .

(1.1) .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную верхнюю границу
.
Это означает, что:

• для всех n ,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью :
(2.1) для всех n .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:

• для всех n выполняются неравенства:
  (2.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , для которого
  (2.3) .

.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью .

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(3.2) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).

.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n .

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(4.2) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.

Пример решения задачи

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a :
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .

Определение 1. Последовательностьназываетсяубывающей (невозрастающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 2. Последовательность
называетсявозрастающей (неубывающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.

Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.

Пример 1. Последовательность
возрастает,не убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.

Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая

Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство . Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2 существует
. Докажем, что
.

Возьмем
произвольно. Посколькуа – точная верхняя граница, существует номерN такой, что
. Так как последовательность неубывающая, то для всех
имеем, т.е.
, поэтому
для всех
, а это и означает, что
.

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.

Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.

Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.

Следствие . Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то
(
).

Действительно, по теореме 1
(
).

Определение 4. Еслии
при
, то последовательностьназываетсястягивающейся системой вложенных отрезков .

Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство . Докажем, что точкас существует. Поскольку
, то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как. Тогда по теореме 1 существуют
и
, но так как
, то
=
. Найденная точкас принадлежит всем отрезкам системы, так как по следствию теоремы 1
,
, т.е.
для всех значенийn .

Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две:с иd и пусть для определенности
. Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
, т.е.
для всехn , что невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
. Теорема доказана.

Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы
, очевидно, стягиваются в точку
, однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой системы.

Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.

1) Число е .

Рассмотрим теперь последовательность
. Как она себя ведет? Основание

степени
, поэтому
? С другой стороны,
, а
, поэтому
? Или предел не существует?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность
. Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна

Лемма . Если
, то для всех натуральных значенийn имеем

(неравенство Бернулли).

Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.

Если
, то
, т.е. неравенство верно.

Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.

Верно
. Умножим это неравенство на
:

Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.

Покажем, что последовательность
убывает. Имеем

‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
,а это и означает, что последовательность
убывает.

Ограниченность снизу следует из неравенства
‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
для всех натуральных значенийn .

По теореме 1 существует
, который обозначают буквойе . Поэтому
.

Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.

Замечания . 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что
при
. Действительно, если
, то
. Тогда, по неравенству Бернулли,при
. Отсюда при
имеем
, то есть
при
.

2) В рассмотренном выше примере основание степени стремится к 1, а показатель степениn – к, то есть имеет место неопределенность вида. Неопределенность такого вида, как мы показали, раскрывается с помощью замечательного предела
.

2)
(*)

Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством
для всех
, которое является следствием неравенства
.

Имеем
см. неравенство выше
, т.е. последовательность ограничена снизу числом
.

Далее,
так как

, т.е. последовательность не возрастает.

По теореме 1 существует
, который обозначимх . Переходя в равенстве (*) к пределу при
, получим

, т.е.
, откуда
(берем знак «плюс», так как все члены последовательности положительны).

Последовательность (*) применяется при вычислении
приближенно. Заберут любое положительное число. Например, найдем
. Пусть
. Тогда
,. Таким образом,
.

3)
.

Имеем
. Поскольку
при
, существует номерN , такой, что для всех
выполняется неравенство
. Таким образом, последовательность
, начиная с некоторого номераN , убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn . Значит, по теореме 1 существует
. Поскольку
, имеем
.

Итак,
.

4)
, справа –n корней.

Методом математической индукции покажем, что
для всех значенийn . Имеем
. Пусть
. Тогда, отсюда получаем утверждение по принципу математической индукции. Используя этот факт, находим, т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует, так как
.

Таким образом,
.